2015年湖北高考数学章节专题十五

湖北2015年高考数学章节专题十五

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学章节专题，希望对大家的复习有帮助。

　　一、选择题

　　1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1，nN+)，在验证n=1时，等号左边的项是(　　)

　　A.1 B.1+a

　　C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

　　2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)

　　A.2 B.3 C.5 D.6

　　3.已知f(n)=1+++…+(nN+)，证明不等式f(2n)>时，f(2k+1)比f(2k)多的项数是(　　)

　　A.2k-1项 B.2k+1项

　　C.2k项 D.以上都不对

　　4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n+1)(nN+)，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为(　　)

　　A.2k+1 B.2(2k+1)

　　C.2k-1 D.2k

　　5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第一步验证n=1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)

　　A.假设n=2k+1(nN+)时命题正确，再推证n=2k+3时命题正确

　　B.假设n=2k-1(kN+)时命题正确，再推证n=2k+1时命题正确

　　C.假设n=k(kN+)时命题正确，再推证n=k+2时命题正确

　　D.假设n≤k(kN+)时命题正确，再推证n=k+2时命题正确

　　6.用数学归纳法证明不等式“++…+> (n>2)”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边(　　)

　　A.增加了一项

　　B.增加了两项，

　　C.增加了两项，，又减少了一项

　　D.增加了一项，又减少了一项

　　二、填空题

　　7.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n2=时，则n=k+1时的左端应在n=k时的左端加上____________________________.

　　8.用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (nN+)的过程如下：

　　(1)当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立.

　　(2)假设当n=k时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1，则当n=k+1时，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何nN+，等式都成立.上述证明的错误是________________________.

　　9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an (nN+).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________.

　　三、解答题

　　10.试比较2n+2与n2的大小(nN+)，并用数学归纳法证明你的结论.

　　11.在数列{an}中，a1=，an+1=(n=1,2,3，…)

　　(1)求a2，a3;

　　(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

　　能力提升

　　12.已知f(n)=(2n+7)·3n+9，存在正整数m，使得对任意nN+都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少?并证明之.

　　13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN+，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上.

　　(1)求r的值;

　　(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN+)，

　　证明：对任意的nN+，不等式··…·>成立.

　　1.数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用.

　　2.在证明n=k+1时的命题中，怎样变形使之出现n=k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n=k+1时式子结构或几何量的改变.知识梳理

　　1.某些与正整数n有关

　　2.(1)验证：n=1时，命题成立　(2)当n=k+1时，命题成立　一切正整数n

　　作业设计

　　1.C　[当n=1时，an+1=a2.

　　等号左边的项是1+a+a2.]

　　2.C　[当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立，当n=5时，25=32>52+1=26，第一个能使2n>n2+1的n值为5.]

　　3.C　[观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)=1++…+，

　　而f(2k+1)=1++…++++…+.

　　因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.]

　　4.B　[当n=k时左端为(k+1)(k+2)·…·(k+k)，当n=k+1时，左端为(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)·(k+1+k)(k+1+k+1)，即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).

　　观察比较它们的变化知增乘了=2(2k+1).]

　　5.B　[因n为正奇数，所以否定C、D项;当k=1时，2k-1=1,2k+1=3，故选B.]

　　6.C　[当n=k时，左边=++…+.

　　当n=k+1时，左边=++…+=++…++.]

　　7.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2

　　8.没有用到归纳假设，不是数学归纳法

　　9.Sn=

　　解析　S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.

　　10.证明　当n=1时，21+2=4>n2=1，

　　当n=2时，22+2=6>n2=4，

　　当n=3时，23+2=10>n2=9，

　　当n=4时，24+2=18>n2=16，

　　由此可以猜想，

　　2n+2>n2 (nN+)成立.

　　下面用数学归纳法证明：

　　当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，

　　所以左边>右边，所以原不等式成立.

　　当n=2时，左边=22+2=6，

　　右边=22=4，所以左边>右边;

　　当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，

　　所以左边>右边.

　　假设n=k时(k≥3且kN+)时，不等式成立，

　　即2k+2>k2，那么n=k+1时，

　　2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.

　　要证当n=k+1时结论成立，

　　只需证2k2-2≥(k+1)2，

　　即证k2-2k-3≥0，

　　即证(k+1)(k-3)≥0.

　　又k+1>0，k-3≥0，

　　(k+1)(k-3)≥0.

　　所以当n=k+1时，结论成立.

　　由可知，nN+，2n+2>n2.

　　11.解　(1)a2===，a3===.

　　(2)猜想an=，下面用数学归纳法证明此结论正确.

　　证明：当n=1时，结论显然成立.

　　假设当n=k(kN+)时，结论成立，即ak=，

　　那么ak+1====.

　　也就是说，当n=k+1时结论成立.

　　根据可知，结论对任意正整数n都成立，

　　即an=.

　　12.解　f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，

　　f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

　　证明：n=1,2时，由上得证，假设n=k(kN+，k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，

　　则n=k+1时，

　　f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k

　　=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

　　=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).

　　f(k+1)能被36整除.

　　因此，对任意nN+，f(n)都能被36整除.

　　又f(1)不能被大于36的数整除，

　　所求最大的m值等于36.

　　13.(1)解　由题意：Sn=bn+r，

　　当n≥2时，Sn-1=bn-1+r.

　　所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，

　　由于b>0且b≠1，

　　所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.

　　又a1=b+r，a2=b(b-1)，

　　=b，即=b，解得r=-1.

　　(2)证明　当b=2时，由(1)知an=2n-1，

　　因此bn=2n(n∈N+)，

　　所证不等式为··…·>.

　　当n=1时，左式=，右式=.

　　左式>右式，所以结论成立，

　　假设n=k(kN+)时结论成立，

　　即··…·>，

　　则当n=k+1时，

　　··…·>·=.

　　要证当n=k+1时结论成立，

　　只需证≥，

　　即证≥，

　　由基本不等式=≥成立，

　　故≥成立，

　　所以当n=k+1时，结论成立.

　　由可知，nN+时，不等式··…·>成立.