2015年湖北考研高等数学知识点讲解：集合的概念

来源：湖北自考网时间：2014-07-04

湖北2015年考研高等数学知识点讲解：集合的概念

　　
集合的概念

　　一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

　　我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。

　　
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

　　
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

　　
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

　　
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

　　⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

　　集合的表示方法

　　
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“{｝”括起来表示集合

　　
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

　　集合间的基本关系

　　
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)。。

　　
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B。

　　
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

　　
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。

　　⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：

　　
①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

　　
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

　　
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

　　集合的基本运算

　　
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

　　即A∪B={x|x∈A，或x∈B｝。

　　
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

　　即A∩B={x|x∈A，且x∈B｝。

　　
⑶、补集：

　　
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

　　
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。

　　即CUA={x|x∈U，且x A｝。

　　集合中元素的个数

　　
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

　　
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c｝，则card(A)=3。

　　
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有

　　card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

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