2015年湖北高考数学章节专题二十五

湖北2015年高考数学章节专题二十五

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学章节专题，希望对大家的复习有帮助。

　　一、选择题

　　1.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是(　　)

　　A.30° B.45° C.60° D.90°

　　2.

　　如图所示，四面体SABC中，·=0，·=0，·=0，，SBA=45°，SBC=60°，M为AB的中点.则BC与平面SAB的夹角为(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.90° D.75°

　　3.平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.45° D.120°

　　4.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN=90°，则PMN的大小是(　　)

　　A.等于90°

　　B.小于90°

　　C.大于90°

　　D.不确定

　　5.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

　　A.30° B.60°

　　C.150° D.以上均错

　　6.正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　)

　　A.30° B.60° C.150° D.90°

　　二、填空题

　　7.

　　如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________.

　　8.正方形ABCD的边长为a，PA平面ABCD，PA=a，则直线PB与平面PAC所成的角为________.

　　9.在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.

　　三、解答题

　　10.

　　如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值.

　　11.

　　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.

　　能力提升

　　12.

　　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.

　　(1)求证：平面ABM平面PCD;

　　(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值.

　　13.已知三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，且AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.

　　(1)证明：CMSN;

　　(2)求SN与平面CMN所成角的大小.

　　1.C

　　2.B　[·=0，·=0，⊥，，即SBSC，SASC，又SB∩SA=S，

　　SC⊥平面SAB，SBC为BC与平面SAB的夹角.又SBC=60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.]

　　3.B

　　4.A　[A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，

　　则·=(+)·

　　=·+·=0，

　　MP⊥MN，即PMN=90°.

　　也可由三垂线定理直接得MPMN.]

　　5.B　[当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余.]

　　6.A　[

　　如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系.

　　设OD=SO=OA=OB=OC=a，

　　则A(a,0,0)，B(0，a,0)，

　　C(-a,0,0)，P.

　　则=(2a,0,0)，=，=(a，a,0).

　　设平面PAC的法向量为n，可求得n=(0,1,1)，

　　则cos〈，n〉===.

　　〈，n〉=60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.]

　　7.

　　解析　不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，

　　则C(0,0,0)，A(，-1,0)，B1(，1,2)，D，

　　则=，=(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n=(x，y,1)，

　　由解得n=(-，1,1).

　　又=，

　　sin θ=|cos〈，n〉|=.

　　8.30°

　　9.

　　解析　在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O，OBAC，则OB平面ACC1A1，

　　BC1O就是BC1与平面AC1的夹角.

　　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

　　则O(0,0,0)，B，

　　C1，

　　=，=.

　　cos〈，〉=

　　===.

　　〈，〉=，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.

　　10.解　如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，

　　则B(3,0,0)，D.

　　设P(3,0，z)，则=，=(3,0，z).

　　BD⊥OP，·

　　=-+4z=0，z=.

　　P.∵BB′⊥平面AOB，

　　POB是OP与底面AOB所成的角.

　　tan∠POB==，

　　故OP与底面AOB所成角的正切值为.

　　11.解　由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示).

　　设AB=1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，

　　D，S(0,0,1).

　　=(0,0,1)，

　　=(-1，-1,1).

　　显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β=90°-θ，

　　故有sin θ=|cos β|===，

　　于是cos θ==.

　　12.(1)证明　依题设，M在以BD为直径的球面上，

　　则BMPD.

　　因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，

　　则PAAB.

　　又ABAD，PA∩AD=A，所以AB平面PAD，

　　则ABPD，又BM∩AB=B.

　　因此有PD平面ABM，又PD平面PCD.

　　所以平面ABM平面PCD.

　　(2)解

　　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，

　　P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，

　　设平面ABM的一个法向量n=(x，y，z)，

　　由n，n

　　可得

　　令z=-1，则y=1，即n=(0,1，-1).

　　设所求角为α，则sin α==，

　　故所求的角的正弦值为.

　　13.

　　(1)证明　设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，

　　则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，

　　N(，0,0)，S(1，，0).

　　所以=(1，-1，)，=(-，-，0).

　　因为·=-++0=0，

　　所以CMSN.

　　(2)解　=(-，1,0)，

　　设a=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则

　　即令x=2，得a=(2,1，-2).

　　因为|cos〈a，〉|===，所以SN与平面CMN所成的角为45°.