2015年湖北高考数学复习：二项式定理

湖北2015年高考数学复习：二项式定理

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　　1.二项式6的展开式中的常数项是(　　)

　　A.20　　　B.-20

　　C.160　　　D.-160

　　解析 二项式(2x-)6的展开式的通项是Tr+1=C·(2x)6-r·r=C·26-r·(-1)r·x6-2r.令6-2r=0，得r=3，因此二项式(2x-)6的展开式中的常数项是C·26-3·(-1)3=-160.

　　答案 D

　　2.若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　).

　　A.6 B.10 C.12 D.15

　　解析　Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx，当r=4时，=0，又nN*，n=12.

　　答案　C

　　3.已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　).

　　A.28 B.38 C.1或38 D.1或28

　　解析　由题意知C·(-a)4=1 120，解得a=±2，令x=1，得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.

　　答案

　　4.设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为(　　).

　　A.-150 B.150 C.300 D.-300

　　解析　由已知条件4n-2n=240，解得n=4，

　　Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-，

　　令4-=1，得r=2，T3=150x.

　　答案　B

　　5.设aZ，且0≤a<13，若512 012+a能被13整除，则a=(　　).

　　A.0 B.1 C.11 D.12

　　解析　512 012+a=(13×4-1)2 012+a被13整除余1+a，结合选项可得a=12时，512 012+a能被13整除.

　　答案　D.已知00)与y=|logax|的大致图象如图所示，所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11，所以a1=-2+C=-2+11=9.

　　答案　B

　　二、填空题

　　6. 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示).

　　解析　Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r，令18-r=15，解得r=2.所以所求系数为(-1)2·C2=17.

　　答案　17

　　.已知(1+x+x2)n的展开式中没有常数项，nN*且2≤n≤8，则n=________.

　　解析　n展开式中的通项为

　　Tr+1=Cxn-rr

　　=Cxn-4r(r=0,1,2，…，8)，

　　将n=2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知

　　n=5.

　　答案　n=5

　　7.若(cosφ+x)5的展开式中x3的系数为2，则sin=________.

　　解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ=2，cos2φ=，故sin=cos2φ=2cos2φ-1=-.

　　8.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是________.

　　解析　由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r，

　　得B=C(-a)4，A=C(-a)2，B=4A，a>0，a=2.

　　答案　2三、解答题

　　9.已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.

　　(1)求n;(2)求展开式中的常数项.

　　解　(1)由题意，得C+C+C+…+C=256，即2n=256，解得n=8.

　　(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-r·r=C·x，令=0，得r=2，此时，常数项为T3=C=28.

　　10.已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式.

　　等差数列2,5,8，…的通项公式为an=3n-1，

　　等比数列2,4,8，…的通项公式为bk =2k ，令3n-1=2k ，nN*，k N*，

　　即n==

　　=，

　　当k =2m-1时，mN*，

　　n=N*，

　　Cn=b2n-1=22n-1(nN*).

　　11.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值.

　　解　5的展开式的通项为Tr+1=C5-r·r=5-rCx，令20-5r=0，得r=4，故常数项T5=C×=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n=16，得n=4.由二项式系数的性质知，(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4=54，解得a=±.

　　12.已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数;

　　(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

　　解　(1)C+C=2C，n2-21n+98=0.

　　n=7或n=14，

　　当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

　　T4的系数为C423=，

　　T5的系数为C324=70，

　　当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

　　T8的系数为C727=3 432.

　　(2)C+C+C=79，n2+n-156=0.

　　n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大，

　　12=12(1+4x)12，

　　9.4≤k≤10.4，k=10.

　　展开式中系数最大的项为T11，

　　T11=C·2·210·x10=16 896x1