2015年湖北高考数学复习：等比数列及其前n项和

湖北2015年高考数学复习：等比数列及其前n项和

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　　一、选择题

　　1.+1与-1两数的等比中项是(　　)

　　A.1　　　B.-1

　　C.±1 D.

　　解析设等比中项为x，

　　则x2=(+1)(-1)=1，即x=±1.

　　答案C

　　2.设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　).

　　A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

　　C.Y2=XY D.Y(Y-X)=X(Z-X)

　　解析　(特例法)取等比数列1,2,4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，选D.

　　答案　D

　　3.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0，且2(an+an+2)=5an+1，则数列{an}的公比q=(　　).

　　A.2 B. C.2或 D.3

　　解析　2(an+an+2)=5an+1，2an+2anq2=5anq，

　　化简得，2q2-5q+2=0，由题意知，q>1.q=2.

　　答案　A

　　4.在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和.若a1=1，a2a6=8，则S8=(　　).

　　A.8 B.15(+1)

　　C.15(-1) D.15(1-)

　　解析　a2a6=a=8，aq6=8，q=，S8==15(+1).

　　答案　B

　　5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-，则实数t的值为(　　).

　　A.4 B.5 C. D.

　　解析　a1=S1=t-，a2=S2-S1=t，a3=S3-S2=4t，由{an}是等比数列知2=·4t，显然t≠0，所以t=5.

　　答案　B

　　6.在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5=3π，则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为 (　　).

　　A. B. C.1 D.-

　　解析　因为a3a4a5=3π=a，所以a4=3.

　　log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a=7log33=，所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.

　　答案　B

　　二、填空题

　　7.设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.

　　解析　设a2=t，则1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.

　　8.在等比数列{an}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=________.

　　解析　由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以数列{an}的通项公式an=4n-1.

　　答案　4n-1

　　9.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=，an=f(n)(nN*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________.

　　解析　由已知可得a1=f(1)=，a2=f(2)=[f(1)]2=2，a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=3，…，an=f(n)=[f(1)]n=n，

　　Sn=+2+3+…+n

　　==1-n，

　　n∈N*，≤Sn<1.

　　答案

　　10.等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：数列为等比数列;若a2+a12=2，则S13=13;Sn=nan-d;若d>0，则Sn一定有最大值.

　　其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).

　　解析　对于，注意到=an+1-an=d是一个非零常数，因此数列是等比数列，正确.对于，S13===13，因此正确.对于，注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d，因此正确.对于，Sn=na1+d，d>0时，Sn不存在最大值，因此不正确.综上所述，其中正确命题的序号是.

　　三、解答题

　　11.已知等比数列{an}中，a1=，公比q=.

　　(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=;

　　(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式.

　　(1)证明　因为an=×n-1=，Sn==，所以Sn=.

　　(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.

　　12.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1(n≥2)，且an+Sn=n.

　　(1)设cn=an-1，求证：{cn}是等比数列;

　　(2)求数列{bn}的通项公式.

　　(1)证明　an+Sn=n，

　　∴an+1+Sn+1=n+1，

　　
②-得an+1-an+an+1=1，

　　2an+1=an+1，2(an+1-1)=an-1，

　　=.

　　首项c1=a1-1，又a1+a1=1.

　　a1=，c1=-，公比q=.

　　{cn}是以-为首项，公比为的等比数列.

　　(2)解　由(1)可知cn=·n-1=-n，

　　an=cn+1=1-n.

　　∴当n≥2时，bn=an-an-1=1-n-

　　=n-1-n=n.

　　又b1=a1=代入上式也符合，bn=n..已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a(a>0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.

　　(1)若a=1，求数列{an}的通项公式;

　　(2)若数列{an}唯一，求a的值.

　　解　(1)设数列{an}的公比为q，则b1=1+a=2，b2=2+aq=2+q，b3=3+aq2=3+q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2).

　　即q2-4q+2=0，解得q1=2+，q2=2-.

　　所以数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.

　　(2)设数列{an}的公比为q，则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)，得aq2-4aq+3a-1=0(*)，

　　由a>0得Δ=4a2+4a>0，故方程(*)有两个不同的实根.

　　由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，

　　代入(*)得a=.

　　13.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上，nN*.

　　(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列.

　　(2)在(1)的结论下，设bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.

　　解　(1)点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上，

　　an+1=3Sn+1，an=3Sn-1+1(n>1，且nN*).

　　an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an，an+1=4an(n>1，nN*)，a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，

　　当t=1时，a2=4a1，数列{an}是等比数列.

　　(2)在(1)的结论下，an+1=4an，an+1=4n，bn=log4an+1=n，cn=an+bn=4n-1+n，

　　Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)

　　=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)