2015年湖北高考数学复习：圆的方程

湖北2015年高考数学复习：圆的方程

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　　一、选择题

　　1.已知点A(1，-1)，B(-1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　).

　　A.x2+y2=2 B.x2+y2=

　　C.x2+y2=1 D.x2+y2=4

　　解析　AB的中点坐标为：(0,0)，

　　|AB|==2，

　　圆的方程为：x2+y2=2.

　　答案　A

　　2.设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0，若00，所以原点在圆外.

　　答案　B

　　3.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为(　　)

　　A.(x+2)2+(y-2)2=1

　　B.(x-2)2+(y+2)2=1

　　C.(x+2)2+(y+2)2=1

　　D.(x-2)2+(y-2)2=1

　　解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变.设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.

　　4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　).

　　A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]

　　解析　因为圆心(3，-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5，所以当半径r=4 时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，当半径r=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1时，4

　　答案　A

　　5.已知圆C：x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称，则实数m的值为(　　).

　　A.8 B.-4 C.6 D.无法确定

　　解析　圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点，则x-y+3=0过圆心，即-+3=0，m=6.

　　答案　C

　　6.圆心为C的圆与直线l：x+2y-3=0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足·=0，则圆C的方程为(　　).

　　A.2+(y-3)2= B.2+(y+3)2=

　　C.2+(y-3)2= D.2+(y+3)2=

　　解析　法一　圆心为C，

　　设圆的方程为2+(y-3)2=r2.

　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2).

　　由圆方程与直线l的方程联立得：5x2+10x+10-4r2=0，

　　x1+x2=-2，x1x2=.

　　由·=0，得x1x2+y1y2=0，即：

　　x1x2-(x1+x2)+=+=0，

　　解得r2=，经检验满足判别式Δ>0.

　　故圆C的方程为2+(y-3)2=.

　　法二　圆心为C，

　　设圆的方程为2+(y-3)2=r2，

　　在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2+(y-3)2=，故选C.

　　答案　C

　　二、填空题

　　7.过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程是________.

　　解析 设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，

　　圆心在直线x-2y-2=0上，a-2b-2=0，

　　又圆过两点A(0,4)，B(4,6)，(0-a)2+(4-b)2=r2，且(4-a)2+(6-b)2=r2，

　　由得：a=4，b=1，r=5，

　　圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25.

　　(x-4)2+(y-1)2=25.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(0，-1)，B(0,1).P是圆C上的动点，当|PA|2+|PB|2取最大值时，点P的坐标是________.解析 设P(x0，y0)，则|PA|2+|PB|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2，

　　显然x+y的最大值为(5+1)2，

　　dmax=74，此时=-6，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.

　　8.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________.

　　解析　由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为=，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

　　答案　(x-2)2+(y-1)2=5

　　9.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为________，最小值为________.

　　解析　设点P(x0，y0)，则d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2，欲求d的最值，只需求u=x+y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值.圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.

　　答案　74　34

　　三、解答题

　　10.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4.

　　(1)求直线CD的方程;

　　(2)求圆P的方程.

　　解　(1)直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1,2)，

　　直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.

　　(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a+b-3=0.

　　又直径|CD|=4，|PA|=2，

　　(a+1)2+b2=40，

　　由解得或

　　圆心P(-3,6)或P(5，-2)，

　　圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.

　　11.已知圆M过两点C(1，-1)，D(-1,1)，且圆心M在x+y-2=0上.

　　(1)求圆M的方程;

　　(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

　　解　(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，

　　根据题意得：

　　解得a=b=1，r=2，

　　故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

　　(2)因为四边形PAMB的面积

　　S=SPAM+SPBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|，

　　又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，

　　而|PA|==，

　　即S=2.

　　因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

　　即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，

　　所以|PM|min==3，

　　所以四边形PAMB面积的最小值为

　　S=2=2=2.

　　12.已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.

　　(1)求圆C的方程;

　　(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值.

　　解　(1)设圆心C(a，b)，则解得

　　则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，

　　故圆C的方程为x2+y2=2.

　　(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，且·=(x-1，y-1)·(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2，

　　令x=cos θ，y=sin θ，

　　·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2

　　=2sin-2，

　　所以·的最小值为-4..已知点A(-3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|=2|PB|.

　　(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程;

　　(2)若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.

　　(1)设点P的坐标为(x，y)，

　　则=2.

　　化简可得(x-5)2+y2=16，此即为所求.

　　(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|==，

　　当CQl1时，|CQ|取最小值，

　　|CQ|==4， 此时|QM|的最小值为=4.