2015年湖北高考数学复习：《相关性与最小二乘估计》

湖北2015年高考数学复习：《相关性与最小二乘估计》

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学辅导资料，希望对大家的复习有帮助。

　　一、选择题

　　1.在下面四个选项中，图中的两个变量具有相关关系的是(　　)

　　A.(1)(2) B.(1)(3)

　　C.(2)(4) D.(2)(3)

　　[答案]　A

　　[解析]　相关关系有两种情况，所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关;若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关的.(3)(4)是不相关的.

　　2.下列变量之间的关系是函数关系的是(　　)

　　A.光照时间与大棚内蔬菜的产量

　　B.已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ=b2-4ac

　　C.每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系

　　D.人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系

　　[答案]　B

　　[解析]　应用变量相关关系的定义加以判断.A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系.B项，判别式Δ=b2-4ac与b是函数关系.C项，每亩施肥量与粮食亩产量是相关关系.D项，人的身高与所穿鞋子的号码在一定时期是相关关系，故选B.

　　3.设有一个回归直线方程为y=2-1.5x，则变量x每增加1个单位时(　　)

　　A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位

　　C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位

　　[答案]　C

　　[解析]　回归直线方程y=2-1.5x是关于x的递减函数，因为y随x的增大而减小，因此排除了A，B，回归直线方程y=2-1.5x的一次项系数为-1.5，因此变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，因此选C .

　　4.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i=1,2，…，n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

　　A.-1 B.0

　　C. D.1

　　[答案]　D

　　[解析]　本题考查了相关系数及相关性的判定.

　　样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y=x+1上，样本的相关系数应为1.

　　要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系.

　　5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

　　广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

　　A.63.6万元 B.65.5万元

　　C.67.7万元 D.72.0万元

　　[答案]　B

　　[解析]　a=-b=-9.4×=9.1，回归方程为y=9.4x+9.1，令x=6，得y=9.4×6+9.1=65.5(万元).

　　6.工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y=50+80x，下列判断正确的是(　　)

　　A.劳动生产率为1000元时，工资为130元

　　B.劳动生产率提高1000元，则工资平均提高80元

　　C.劳动生产率提高1000元，则工资平均提高130元

　　D.当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

　　[答案]　B

　　[解析]　由线性回归方程知，回归方程表示的直线不一定经过各离散点，得到的y值是一个近似值，故选B.

　　二、填空题

　　7.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有下列数据：

　　x -2 -1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了x与y之间的三个回归直线方程：y=-x+2.8;y=-x+3;y=-1.2x+2.6，其中正确的是________.(只填写序号)

　　[答案]

　　[解析]　=0，=2.8，

　　把=0，=2.8代入检验，只有符合.

　　8.某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

　　气温(℃) 18 13 10 -1 杯数 24 34 38 64 由表中数据算得线性回归方程y=bx+a中的b≈-2，预测当气温为-5℃时，热茶销售量为________杯.

　　[答案]　70

　　[解析]　根据表格中的数据可求得=(18+13+10-1)=10，=(24+34+38+64)=40.

　　a=-b=40-(-2)×10=60.

　　y=-2x+60.

　　当x=-5时，y=-2×(-5)+60=70.

　　三、解答题

　　9.某商场品牌毛衣专柜为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x()之间的关系，随机统计了某4个月的月销量与当月平均气温，其数据如下表：

　　月平均气温x() 17 13 8 2 月销量y(件) 24 33 40 55 (1)请画出上表数据的散点图;

　　(2)根据表中数据求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;

　　(3)气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计，该商场专柜下个月毛衣的销售量约为多少件?

　　[解析]　(1)散点图如图所示.

　　(2)由表中数据可得：==10，

　　==38，

　　又b=-2，所以a=38-(-2)×10=58，

　　从而线性回归方程为y=-2x+58.

　　(3)当月的平均气温约为6时，其销售量约为y=-2×6+58=46(件).

　　一、选择题

　　1.下列叙述中：

　　变量间关系有函数关系，又有相关关系;

　　回归函数即用函数关系近似地描述相关关系;

　　i=x1+x2+…+xn;

　　线性回归方程y=bx+a中，b=，

　　a=-b;

　　线性回归方程一定可以近似地表示相关关系.

　　其中正确的有(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　[答案]　C

　　[解析]　线性回归方程只能近似地表示线性相关关系.

　　2.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)

　　A.83% B.72%

　　C.67% D.66%

　　[答案]　A

　　[解析]　该城市居民人均消费水平7.675=0.66x+1.562，

　　解得x≈9.262 1，则估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.

　　二、填空题

　　3.改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，为调查农村从2004年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把2004年到2014年的年号依次编为0,1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量，进行回归分析，得到回归直线方程y=1.80+0.42x

　　下面对数据解释正确的是________.

　　每年升入大学的百分比为1.80;升入大学的18岁到24岁的人数大约每年以0.42%的速度递增;2004年升入大学的百分比约为1.80%，2014年升入大学的百分比约为6%;2004年到2014年升入大学的人数成等距离增加.

　　[答案]

　　[解析]　由b=0.42表示回归直线y=1.80+0.42x的斜率估值，a=1.80表示截距，再结合直线方程中斜率与截距的意义可得正确.

　　4.在2014年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

　　价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________.

　　[答案]　y=-3.2x+40

　　[解析]　由数据表可得=10，=8，

　　b=-3.2，y=-3.2x+a，又过点(10,8)

　　得a=40，回归直线方程为y=-3.2x+40.

　　三、解答题

　　5.某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：

　　x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图;

　　(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系.

　　[分析]　本题中涉及两个变量：利润与科研经费，以科研经费为自变量，考查利润的变化趋势，从而做出判断.

　　[解析]　(1)散点图如下：

　　(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，

　　因此认为y与x有线性相关关系.

　　6.假设关于某设备使用年限x年和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

　　x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出y关于x的回归方程.

　　[解析]　散点图如下：

　　由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关.列表，计算

　　i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 =4，=5;

　　=90，iyi=112.3 设所求回归方程为：y=bx+a，则由上表可得

　　b====1.23，

　　a=-b=5-1.23×4=0.08.

　　回归方程为y=1.23x+0.08.

　　7.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

　　年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a;

　　(2)利用(1)中所求的直线方程预测该地2015年的粮食需求量.

　　温馨提示：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

　　[解析]　(1)由所给数据分析，年需求量与年份之间近似直线上升，可对数据进行预处理如下表

　　年份-2006 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算出

　　=0，=3.2，

　　iyi=-4×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29=260，

　　=16+4+0+4+16=40，

　　b===6.5，

　　a=-b=3.2，

　　所求回归直线方程y-257=6.5(x-2006)+3.2.

　　即y=6.5(x-2006)+260.2

　　(2)当x=2015时，

　　y=6.5(2015-2006)+260.2=318.7万吨，故预测2015年粮食需求量约为318.7万吨.