荆楚理工学院普通专升本考试《高等数学》考试大纲

荆楚理工学院普通专升本考试《高等数学》考试大纲

一、课程名称：高等数学
二、适用专业：化学工程与工艺，机械设计制造及其自动化
三、考试方法：闭卷考试
四、考试时间：90分钟
五、试卷结构：总分：100分，其中选择题20分，填空题20分，计算题50分，证明题10分。
六、参考书目：
1、同济大学数学系主编，《高等数学》（上、下册），高等教育出版社，2007年第6版。
2、李乐成等主编，《高等数学》（上、下册），华中科技大学出版社，2004年第2版。
七、考试的基本要求：
考生应理解“高等数学”中的函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念与基本理论；
学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；
应具有一定的抽象思维能力、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力；
有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明和准确地计算的能力；
能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
八、考试范围
第一章 函数与极限
（一）考核内容
映射与函数，数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质
（二）考核知识点
1、函数的概念及性质。
2、求函数的极限。
（三）考核要求
1、了解：间断点的概念，会判别间断点的类型；
初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。
2、理解：函数和复合函数的概念；
函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；
极限的概念；
无穷小、无穷大以及无穷小比较阶的概念；
等价无穷小求极限；
函数在一点连续的概念。
3、掌握：基本初等函数的性质及其图形；
极限四则运算法则；
两个重要极限公式。
第二章 导数与微分
（一）考核内容
导数概念，函数的求导法则，高阶导数，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。
（二）考核知识点
1、函数的导数。
2、函数的微分。
（三）考核要求
1、了解：微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；
高阶导数的概念；
几个常见的函数的n阶导数的一般表达式。
2、理解：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
3、掌握：导数四则运算法则和复合函数求导法；
基本初等函数的导数公式。初等函数一阶、二阶导数的求法；
隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。
第三章 微分中值定理与导数的应用
（一）考核内容
微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数的单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最大值最小值。
（二）考核知识点
1、罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。
2、洛必达法则。
3、函数的单调性与曲线的凹凸性。
4、函数的极值与最大值最小值
（三）考核要求：
1、了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。
2、理解：罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，函数的极值概念。
3、掌握：用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法；
用导数判断函数的凹凸性；
求拐点；
会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）；
求解较简单的最大值和最小值的应用问题；
用洛必达（L’Hospital）法则求不定式的极限。
第四章 不定积分
（一）考核内容
不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。
（二）考核知识点
1、不定积分的基本公式。
2、不定积分的换元法和分部积分法。
3、简单的有理函数的积分的求法。
（三）考核要求
1、理解：不定积分的概念及性质。
2、掌握：不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法；
会求简单的有理函数的积分。
第五章 定积分
（一）考核内容
定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法，反常积分。
（二）考核知识点
1、微积分基本公式。
2、定积分的换元法和分部积分法。
（三）考核要求
1、理解：定积分的概念及性质；
变上限的定积分定义的函数及其求导定理，反常积分的概念。
2、掌握：牛顿（Newton）一莱布尼兹（Leibniz）公式；
定积分的换元法和分部积分法。
第六章 定积分的应用
（一）考核内容
定积分的元素法，定积分在几何学上的应用。
（二）考核知识点
1、利用定积分来求一些几何量（如面积、体积、弧长）。
（三）考核要求
1、理解：定积分的元素法。
2、掌握：用定积分来求一些几何量（如面积、体积、弧长）的方法。
第七章 微分方程
（一）考核内容
微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程。
（二）考核知识点
1、可分离变量的微分方程，齐次方程。
2、一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程。
3、常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程。
（三）考核要求
1、理解：微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念，二阶线性微分方程解的结构。
2、掌握：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；
解齐次方程；
用降阶法解下列方程；
二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
第八章 空间解析几何与向量代数
（一）考核内容
向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。
（二）考核知识点
1、向量的运算（线性运算、数量积、向量积）。
2、空间曲线及其方程。
3、平面的方程和直线的方程及其求法。
（三）考核要求
1、了解：两个向量垂直、平行的条件，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
空间曲线的参数方程和一般方程；
曲面的交线在坐标平面上的投影。
2、理解：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，曲面及其方程的概念。
3、掌握：向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；
单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；
平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
第九章 多元函数微分法及其应用
（一）考核内容
多元函数的基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式。
（二）考核知识点
1、偏导数，全微分。
2、多元复合函数的求导法则。
3、隐函数的导数。
（三）考核要求
1、了解：二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质；
二元函数偏导数存在性、可微性与连续性之间的关系。
2、理解：多元函数，偏导数和全微分等概念。
3、掌握：偏导数，复合函数一阶和二阶偏导数的求法；
隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
第十章 重积分
（一）考核内容
二重积分的概念与性质，二重积分的计算法。
（二）考核知识点
1、二重积分的计算。
（三）考核要求
1、理解：二重积分的概念及性质。
2、掌握：二重积分的计算方法（直角坐标）。
第十一章 曲线积分
（一）考核内容
对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式及其应用。
（二）考核知识点
1、两类曲线积分的计算。
2、格林（Green）公式。
（三）考核要求
1、理解：两类曲线积分的概念，两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2、掌握：两类曲线积分的计算；
格林（Green）公式，运用平面曲线积分与路径无关的条件。
第十二章 无穷级数
（一）考核内容
常数项级数的概念和性质，常数项级数的审敛法，幂级数，函数展开成幂级数。
（二）考核知识点
1、常数项级数的审敛法。
2、幂级数。
3、将函数展开成幂级数。
（三）考核要求
1、理解：无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；
正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理；
无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系；
函数项级数的收敛域及和函数的概念，幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
2、掌握：几何级数和P-级数的收敛性；
正项级数的比值审敛法；
简单幂级数的收敛域的求法；
利用麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开为幂级数。