2014年黄冈师范学院专升本《数学分析》考试大纲

黄冈师范学院
2014年专升本《数学分析》考试大纲

一、参考教材

华东师大数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2005，（第三版）

二、考试的内容及基本要求

第1章 实数集与函数

考试内容：

1．实数分类、实数的性质(对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性)、绝对值与不等式；

2．区间、邻域、数集、确界原理；

3．函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数；

4．有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数；

基本要求：

1、要熟练掌握实数域及性质；

2、掌握几个常用的不等式；

3、熟练掌握邻域，上确界，下确界，确界原理；

4、牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章 数列极限

考试内容：

1．数列极限的“ ”定义及其几何意义、无穷小数列；

2．收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式、迫敛性、四则运算法则；

3．单调有界定理、柯西收敛准则。

基本要求：

1、要熟练掌握数列极限“ ”定义；

2、掌握收敛数列的若干性质；

3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第3章 函数极限

考试内容：

1．函数极限概念的“ ”、“ ”定义，单侧极限及其与极限的关系；

2．函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式、迫敛性、四则运算法则；

3．函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则；

4．两个重要的极限 和 ；

5．无穷小量和无穷大量的比较。

基本要求：

1、熟练掌握使用“ ”，“ ”语言，能用不等式叙述各类型函数极限的概念；

2、掌握函数极限的若干性质；

3、掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）；

4、会熟练应用两个特殊极限；

5、能掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第4章 函数的连续性

考试内容：

1．函数在一点连续(左、右连续)及间断点的概念、间断点的分类；

2．连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性；

3．闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。

基本要求：

1、要熟练掌握 在 点连续的定义和等价定义；

2、熟练掌握间断点及其分类；

3、熟练掌握 在一点连续性质及在区间上连续性质；

4、熟练掌握初等函数的连续性。

第5章 导数和微分

考试内容：

1．切线问题、瞬时速度、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；

2．导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；

3．微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计；

4．高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。

基本要求：

1、熟练掌握导数的定义，几何、物理意义；

2、牢固记住求导法则、求导公式；

3、会求各类的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）；

4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；

5、掌握连续、可导、可微之间的关系。

第6章 微分中值定理及应用

考试内容：

1．费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2． 型不定式极限、 型不定式极限、其它类型不定式极限；

3．函数的单调性与极值；

4．函数的凸凹性与拐点；

5．函数图象的讨论。

基本要求：

1、牢固掌握微分中值定理并会灵活应用；

2、 会用洛比达法则求极限，会将其他类型的不定型转化为 和 型；

3、掌握 单调与 符号的关系，并用它证明 单调，不等式、求单调区间、极值等；

4、利用 判定凹凸性及拐点；

5、掌握凸函数概念及性质；

6、会求曲线各种类型的渐近线性。

第7章 实数的完备性

考试内容：

1．确界原理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理、单调有界定理。

基本要求：

1、了解下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、子列的概念；

2、了解实数完备性的七个等价定理的结论。

第8章 不定积分

考试内容：

1．原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则。

2．第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；

3．有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分；

基本要求：

1、掌握原函数与不定积分的概念，记住基本积分公式；

2、熟练掌握换元法、分部积分法；

3、熟练掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第9章 定积分

考试内容：

1．定积分定义、可积条件、三类可积函数

2．定积分的线性性质、对区间的可加性、单调性、绝对可积性、积分中值定理

3．变动上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法

基本要求：

1、掌握定积分定义、性质、可积条件，可积函数类。

2、熟练掌握微积分基本定理，并会熟练应用。

3、会熟练计算定积分。

第10章 定积分应用

考试内容：

1．平面图形的面积、函数的平均值

2．由截面面积求立体体积

3．曲线的弧长

4．旋转曲面的面积

基本要求：

1、要求能熟练计算各种平面图形面积。

2、会求已知截面面积的物体和旋转体的体积。

3、会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。

第12章 数项级数

考试内容：

1、数项级数收敛、发散、和的概念，柯西准则，收敛级数的性质

2、正级数的收敛原则、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法

基本要求：

1、掌握数项级数敛散的定义、性质。

2、熟练掌握正项级数的敛散判别法。

第13章 函数列与函数项级数

考试内容：

1．函数列的极限函数、函数项级数的和函数、函数列与函数项级数的一致收敛性、一致收敛柯西准则、 判别法

2．极限函数与和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)

基本要求：

1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义。

2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。

3、掌握函数列的极限函数、函数项级数的和函数的性质。

第14章 幂级数

考试内容：

1．幂级数、阿贝尔定理、收敛半径和收敛域、内闭一致收敛性、和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)

基本要求：

1、熟练幂级数收敛域，收敛半径，及和函数的求法。

2、了解幂级数的若干性质。

3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展式的方法。特别牢固记住五种函数 、 、 、 、 的马克劳林展式。

4、会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。

第15章 傅里叶级数

考试内容：三角级数、三角函数系的正交性、收敛定理、以 为周期的傅立叶级数。

基本要求：熟记傅里叶系数公式，并会求之。

第16章 多元函数极限与连续

考试内容：

1、平面点集的邻域、内点、外点、界点、开集、闭集、区域、开区域、闭区域

2、二元函数的概念及几何表示、任意多元函数的概念

3、二元函数的极限(重极限、累次极限)

基本要求：

1、了解平面点集的若干概念。

2、掌握二元函数二重极限定义、性质。

3、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系。

4、掌握二元连续函数定义、性质。

第17章 多元函数微分学

考试内容：

1、偏导数及其几何意义

2、复合函数的偏导数及全微分

3、空间曲线的切线与法平面

基本要求：

1、熟练掌握可微、偏导数的意义。

2、掌握二元函数可微、偏导数、连续以及偏导函数连续等概念之间关系。

3、会计算各种类型的偏导数、全微分。

第18章 隐函数定理及其应用

考试内容：

1、隐函数概念、隐函数定理、隐函数导数

2、条件极值概念、拉格朗日乘数法

基本要求：

1、掌握由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式。

2、会求空间曲线的切线与法平面、会求空间曲面的切平面与法线。

3、掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

第20章 重积分

考试内容：

1、二重积分概念、可积条件、性质

2、二重积分化为累次积分、 二重积分换元法(极坐标变换、 一般曲线变换)、含参量积分导数

3、分概念、性质(与二重积分相同)

4、分化为累次积分、 三重积分换元法(柱坐标变换、 球坐标变换)

基本要求：

1、了解二重积分、三重积分定义与性质。

2、掌握二重积分的换序和变量代换。