2015年湖北高考数学必会题型四

湖北2015年高考数学必会题型四

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学必会题型，希望对大家的复习有帮助。

　　函数与方程的转化

　　例1　设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为________.

　　破题切入点　将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.

　　答案　7

　　解析　由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1，

　　如图画出f(x)的图象，由f(x)=知有4个根，

　　由f(x)=1知有3个根，故函数y=2f2(x)-3f(x)+1共有7个零点.

　　题型二　函数与不等式的转化

　　例2　已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>}，则f(10x)>0的解集为________.

　　破题切入点　由题意，可得f(10x)>0等价于-1<10x<，由指数函数的单调性即可求解.

　　答案　{x|x<-lg 2}

　　解析　由题意可知f(x)>0的解集为{x|-10等价于-1<10x<，

　　由指数函数的值域为(0，+∞)，知一定有10x>-1，

　　而10x<可化为10x<10，

　　即10x<10-lg 2.

　　由指数函数的单调性可知x<-lg 2.

　　题型三　方程与不等式的转化

　　例3　已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

　　(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围;

　　(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.

　　破题切入点　将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解.

　　解

　　(1)由条件，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，如右图所示，

　　得

　　即-0}，且A∩B=，则实数p的取值范围是________.

　　答案　(-4，+∞)

　　解析　当A=时，Δ=(p+2)2-4<0，

　　∴-4-4.

　　2.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________.

　　答案　[1,2]

　　解析　∵f(x)=(x-1)2+2，其对称轴为x=1，当x=1时，f(x)min=2，故m≥1，又∵f(0)=3，f(2)=3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.

　　3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有实根，则m的取值范围是________.

　　答案　[-，]

　　解析　m=x2-x=2-，x∈[-1,1].

　　当x=-1时，m取最大值为，

　　当x=时，m取最小值为-，∴-≤m≤.

　　4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是________.

　　答案　(0,1)

　　解析

　　设t=f(x)，

　　则方程为t2-at=0，

　　解得t=0或t=a，

　　即f(x)=0或f(x)=a.

　　如图，作出函数f(x)的图象，

　　由函数图象，可知f(x)=0的解有两个，

　　故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解，

　　则方程f(x)=a的解必有三个，此时00，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，

　　又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，

　　因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.

　　6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2.若f(x1)=x10，且有4-a>0，故00时，f(x)在[-1,1]上有零点的条件是　解得a>.

　　综上，实数a的取值范围为.

　　10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________.

　　答案　(-，+∞)

　　解析　方法一　f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0f(cos2θ+2msin θ)-1-sin2θ.

　　当θ=时，2m·0>-2，此时m∈R;

　　当0≤θ<时，m>-，令t=1-sin θ，

　　则t∈(0,1]，此时m>-×=-(t+-2).

　　设φ(t)=-(t+-2)，

　　而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(-∞，-]，

　　故m>-.

　　方法二　同方法一，求得2m(1-sin θ)>-1-sin2θ，

　　设sin θ=t，则t2-2mt+2m+1>0对于t∈[0,1]恒成立.

　　设g(t)=t2-2mt+2m+1，其图象的对称轴方程为t=m.

　　
①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增，

　　从而g(0)=2m+1>0，即m>-，

　　又m<0，所以-0，即m2-2m-1<0，

　　所以1-1时，g(t)在[0,1]上单调递减，

　　从而g(1)=1-2m+2m+1=2>0恒成立，所以m>1.

　　综合
①
②
③，可知m>-.

　　11.已知函数f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是，值域是[-5,1]，求常数a，b的值.

　　解　f(x)=2a·(1-cos 2x)- asin 2x+a+b

　　=-2a+2a+b

　　=-2asin+2a+b，

　　又∵0≤x≤，∴≤2x+≤π，

　　∴-≤sin≤1.

　　因此，由f(x)的值域为[-5,1]