2013年湖北高考数学复习：排列

湖北
2013年高考数学复习：排列

排列组合公式/排列组合计算公式 　　排列P------和顺序有关 　　组合C-------不牵涉到顺序的问题 　　排列分顺序，组合不分 　　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列" 　　把5本书分给3个人，有几种分法"组合" 　　1．排列及计算公式 　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. 　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1). 　　2．组合及计算公式 　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 　　c(n，m)表示. 　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；
c(n，m)=c(n，n-m)；
　　3．其他排列与组合公式 　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！. 　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为 　　n！/(n1！*n2！*...*nk！). 　　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m). 　　排列（Pnm(n为下标，m为上标)） 　　Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；
Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；
Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；
0！=1；
Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） 　　Cnm=Pnm/Pmm；
Cnm=n！/m！（n-m）！；
Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；
Cn1（n为下标1为上标）=n；
Cnm=Cnn-m 　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 　　从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1)；
　　因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 　　举例： 　　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ 　　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 　　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7，(从9倒数3个的乘积） 　　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ 　　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 　　上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=9*8*7/3*2*1 　　排列、组合的概念和公式典型例题分析 　　例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；
（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 　　解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． 　　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 　　点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 　　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 　　解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 　　∴符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 　　例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． 　　（1）高三年级学生会有11人：
①每两人互通一封信，共通了多少封信？
②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ 　　（2）高二年级数学课外小组共10人：
①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？
②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ 　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：
①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？
②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ 　　（4）有8盆花：
①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？
②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 　　分析（1）
①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；

②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． 　　（1）
①是排列问题，共用了封信；

②是组合问题，共需握手（次）． 　　（2）
①是排列问题，共有（种）不同的选法；

②是组合问题，共有种不同的选法． 　　（3）
①是排列问题，共有种不同的商；

②是组合问题，共有种不同的积． 　　（4）
①是排列问题，共有种不同的选法；

②是组合问题，共有种不同的选法． 　　例４证明． 　　证明左式 　　右式． 　　∴等式成立． 　　点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化． 例5化简． 　　解法一原式 　　解法二原式 　　点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；
解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化． 　　例6解方程：（1）；
（2）． 　　解（1）原方程 　　解得． 　　（2）原方程可变为 　　∵，， 　　∴原方程可化为． 　　即，解得 　　第六章排列组合、二项式定理 　　一、考纲要求 　　1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 　　2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.#p#分页标题#e# 　　3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 　　二、知识结构 　　三、知识点、能力点提示 　　(一)加法原理乘法原理 　　说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.