全国2009年4月高等教育自考线性代数（经管类）试题

全国2009年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的铁。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式 = 中元素 的代数余了式 =（      ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
2．设矩阵A= ，B= ，P1= ，P2= ，则必有 （      ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（      ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
4．设3阶矩阵A= ，则A2的秩为（      ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设 是一个4维向量组，若已知 可以表为 的线性组合，且表示法惟一，则向量组 的秩为（      ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．设向量组 线性相关，则向量组中（      ）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 
B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 
D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
7．设 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（      ）
A．  B．
C．  D．
8．若2阶矩阵A相似于矩阵B= ，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（      ）
A．  B．
C．  D．
9．设实对称矩阵A= ，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（      ）
A．  B．
C．  D．

10．若3阶实对称矩阵A=（ ）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（      ）
A．0 B．1
C．2 D．3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．已知3阶行列式 =6，则 =_______________.
12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.
13．设A= ，则A2-2A+E=____________________.
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B= ，则A=______________.
15.设3阶矩阵A= ，则A-1=_________________.
16.设向量组 =（a,1,1）, =（1,-2,1）,  =（1,1,-2）线性相关，则数a=________.
17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量 =__________________.
18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为 =(1，1)T,
 =(1，k)T，则数k=_____________________.
19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________.
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.已知3阶行列式 = 中元素 的代数余子式A12=8，求元素 的代数余子式A21的值.
22.已知矩阵A ，B= ,矩阵X满足AX+B=X，求X.
23.求向量组 =(1,1,1,3)T， =(-1,-3,5,1)T， =(3,2,-1,4)T， =(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
24.设3元齐次线性方程组 ，
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B= ，
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵 和可逆矩阵P，使P-1BP=
26.设3元二次型 ,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.

四、证明题（本题6分）
27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.