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实变函数与泛函分析初步历年试卷自考浙江2007年1月

湖北自考网 来源: 时间:2008-11-08 15:39:06
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浙江省2007年1月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码:10023
一、单项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.可数个可数集的交集是(   )
A.空集 B.有限集
C.可数集 D.无法判定的
2.设E=[0,2]-(Q∩[1,3]),则mE=(   )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设P是Cantor集,则(   )
A.P与Rn对等,且P的测度为0 B.P与Rn对等,且P的测度为1
C.P与Rn不对等,P的测度为0 D.P与Rn不对等,P的测度为1
二、判断题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“?”。
4.有理数集与无理数集一定是对等的.(   )
5.开集减去闭集后的差集一定是开集.(   )
6.不可数点集的外测度一定大于零.(   )
7.设f (x)在E上非负可积,en=E[f ≥n],则.(   )
8.若f (x)在区间[0,1]上几乎处处可导,则f (x)在区间[0,1]上几乎处处有界.(   )
9.函数f (x)= 不是[0,1]上的有界变差函数.(   )
三、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设集列{An}两两不相交,则集列{An}的上限集为________________.
11.设An=(-,2-],则________________.
12.若E与它的真子集对等,则E一定是无限集吗?(只需填“是”或“否”即可)
答:________________.
13.设E是[0,1]-Q和[3,7]∩Q的并集,则mE=________________.
14.函数f (x)在E上几乎处处有界是指________________.
15.设f (x)是可测集E上的函数,若δ>0,必有闭子集EδE,使f (x)是Eδ上的连续函数,且m(E-Eδ)<δ,则f (x)是E上的________________.
16.设{f n(x)}是E上的非负可测函数列,且fn (x)≤fn+1(x)(n),则与一定相等吗?(只需填“一定”或“不一定”即可)答:________________.
17.构造[0,1]上的一个函数f (x),使得f (x)在[0,1]上Lesbegue可测,但不是Lesbegue可积.例如f (x)=________________.
18.设f (x)=,则=________________.
19.函数f (x)= 在[0,1]上的全变差为________________.
四、完成下列各题(本大题共4小题,每小题9分,共36分)
20.构造一个一一映射f:[0,1]→(0,1).
21.设I为全体无理数所成之集,令E={(x,y)|y=sin, x∈I},求E′,,.
22.证明可数点集的外测度为零.
23.利用,求证ln2=1-+-+….

......
结束
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