2007年1月浙江省自考试题近世代数

湖北自考网来源：时间：2008-11-08 15:39:58

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浙江省2007年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A=R+（正实数域），B=R（实数域）
Φ:a→lga a∈A
则Φ是从A到B的（）
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 D.既非单射也非满射
2.设A={所有实数x}，A的代数运算ab=a+2b（）
A.适合结合律但不适合交换律
B.不适合结合律但适合交换律
C.既适合结合律又适合交换律
D.既不适合结合律又不适合交换律
3.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是（）
A.x→2x B.x→x2
C.x→-x D.x→3x
4.在3次对称群S3中，阶为2的元有（）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
5.剩余类环Z8的子环有（）
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.剩余类加群Z6有_______个生成元.
7.在5次对称群S5中，(251)(4513)-1=_______.
8.设循环群G＝(a),如果a的阶无限，则G同构于_______.
9.剩余类环Z7的零因子个数等于_______.
10.剩余类环Z6的可逆元有_______个.
11.域F的全部理想为_______.
12.整环I＝｛所有复数a+b(a,b是整数)｝，则I的单位是_______.
13.设Q是有理数域，则Q(i)=_______.
14.在有理数域Q上的极小多项式是_______.
三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）
15.在实数集R中定义二元运算“ｏ”如下：aｏb=a+b+ab(a,b∈R),问R对运算“ｏ”是否作成群？试说明理由.
16.找出模12的剩余类加群Z12的所有子群，并找出Z12的全部生成元.
17.设Z是整数环，(3)∩(7)、(3,7)是Z的怎样一个理想？(3)∪(7)是Z的理想吗？为什么？
四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.证明：阶为素数的群一定是循环群.
19.若R是无零因子环，且R中的元素个数是大于1的有限数.证明：R是除环.
20.设A=Z?Z是关于以下定义的加法、乘法作成的环：
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，(a,b)(c,d)=(ac,bd),
令f：(a,b)|→a，
（1）证明：f是A到Z的一个同态满射.
（2）求kerf.
（3）A/kerf是怎样的一个环？

......
......

结束

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