《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练3 -自考串讲笔记

　　27将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」

　　A 4-x ， x≥0

　　x ， x<0B4-x ， x≥2

　　x ， x<2

　　C 4-x ， x≥0

　　1-x x <0D4-x ， x≥2

　　4+x x <2

　　「答案」选B 

　　「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2

　　2-（2-x ），x <2 ，即

　　f （x ）=4-x，x ≥2

　　x ，x <2 

　　28下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」

　　A y=2x2 ， x>0

　　2x+1， x<0By=2x+cosx

　　C y=xDy=sinx

　　「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数

　　29函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」

　　A （0 ）B ［-1，1 ］

　　C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］

　　「答案」选D 

　　「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，

　　当x <0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx ≤2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为［-2，2 ］30函数y=x2 -2 ≤x ≤0

　　x2-4 0

　　A y=x 0 ≤x ≤4

　　x+4 0

　　B y=－x 0 ≤x ≤4

　　x+4 -4

　　C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4

　　－x+4 -4≤x <0

　　D y=x 0 ≤x ≤4

　　- 4+x -4 ≤x <0

　　「答案」选B 

　　「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；

　　当0

　　故所求反函数为y=－x ， 0≤x ≤4 ，

　　x+4 ， -4

　　31设f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」

　　A y=|f（x ）|By=-|f （x ）|

　　C y=-f（-x）D y=f （x2）

　　「答案」选D 

　　「解析」由偶函数定义，D 中函数定义域（- ∞，+ ∞）关于原点对称，且y （-x）=f［（-x）

　　2 ］=f（x2）=y（x ），故y=f （x2）是偶函数

　　32函数f （x ）=loga （x+1+x2）（a >0 ，a ≠1 ）是「」

　　A 奇函数B 偶函数

　　C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数

　　「答案」选A 

　　「解析」因该函数定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，且

　　f （-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x

　　=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2

　　=-log3x+1+x2=-f （x ）

　　故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数

　　33设函数f （x ）=x（ex-1） ex+1 ，则该函数是「」

　　A 奇函数B 偶函数

　　C 非奇非偶函数D 单调函数

　　「答案」选B 

　　「解析」因为f （x ）的定义域是（- ∞，＋∞），且

　　f （-x）=-x （e-x-1 ） e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1） ex+1=f （x ）。

　　所以f （x ）为偶函数。

　　34设函数f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义且为奇函数，若当x ∈（－∞，0）时，f（x ）=x（x-1 ），则当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）= 「」

　　A -x（x+1 ）B x （x-1 ）

　　C x （-x+1）D x （x+1 ）

　　「答案」选A 

　　「解析」因为f （x ）为奇函数，故当x >0 时，

　　f （x ）=-f （-x）=-［-x（-x-1）］=-x （x+1 ）。

　　35设函数f （x ）、g （x ）在（－∞，＋∞）上有定义，若f （x ）为奇函数，g （x ）

　　为偶函数，则g ［f （x ）］为「」

　　A 奇函数B 偶函数

　　C 非奇非偶函数D 有界函数

　　「答案」选B 

　　「解析」因为g ［f （-x）］=g［-f（x ）］=g［f （x ）］，故g ［f （x ）］为偶函数。

　　36函数f （x ）=x（1+cos2x ）的图形对称于「」

　　A ox轴B 直线y=x

　　C 坐标原点D oy轴

　　「答案」选C 

　　「解析」因f （x ）的定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，又f （-x）=-x （1+cos2（-x））=-x （1+cos2x ）=-f （x ），故f （x ）=x（1+cos2x ）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称

　　37函数y=|sinx|的周期是「」

　　A πB π2 C2πD 4π

　　「答案」选A 

　　「解析」因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期（最小正周期）为π

　　38下列函数中为周期函数的是「」

　　A y=sinx2By=arcsin2x

　　C y=x ｜sinx｜D y=tan （3x-2）

　　「答案」选D 

　　「解析」因为tan ［3 （x+π3）－2］=tan（3x+ π-2）=tan［（3x-2）+ π］

　　=tan（3x-2），所以y=tan （3x-2）是以π3为周期的周期函数。

　　39设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= 「」

　　A 1B-1C 2D-2

　　「答案」选A 

　　「解析」因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.

　　40已知偶函数f （x ）在［0，4］上是单调增函数，那么f （- π）和f （log 128）

　　的大小关系是「」

　　A f （- π）

　　C f （- π）>f （log 128）D 不能确定

　　「答案」选C 

　　「解析」因为f （x ）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x ）在［－4，0］上是单调减函数又log 128=log12（12）－3=-3 >－π，所以f （- π）>f （log 128）。

　　41在R 上，下列函数中为有界函数的是y=「」

　　A exB 1+sinx

　　C lnxDtanx

　　「答案」选B 

　　「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x ∈R ，有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数

　　基础训练题

　　单项选择题

　　1 设A={x|-3 ≤x ≤3}，B={x|0≤x ≤5}，则

　　A A BBA B

　　C （A ∩B ）BD（A ∩B ）B 「」

　　2 下列集合为空集的是

　　A {x|x+5=5}B{x|x∈R 且x2+10=0}

　　C {x|x≥3 且x ≤3}D {x||x+5|≤0}「」

　　3 若集合M={0，1 ，2}，则下列写法中正确的是

　　A {1} ∈MB1 M

　　C 1 MD{1} M 「」

　　4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是

　　A -3≤x ≤1

　　B x <1

　　C （-3，1 ）

　　D {x|x<1}∩{x|-3 ≤x ≤1}「」

　　5 函数f （x ）= （x+1 ）2x+1 2x2-x-1的定义域是

　　A x ≠-1 2B x >-1 2

　　C x ≠-1 2且x ≠1Dx >-1 2且x ≠1 「」

　　6 若0 ≤a ≤1 2 及函数y=f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是

　　A ［-a，1-a ］B ［-a，1+a ］

　　C ［a ，1-a ］D ［a ，1+a ］