《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练1 -自考串讲笔记

　　第一章函数及其图形复习提示

　　本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常见的经济函数；能从比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

　　本章重点：函数概念和基本初等函数。

　　难点：函数的复合。

　　典型例题分析与详解

　　一、单项选择题

　　1 下列集合中为空集的「」

　　A ｛｝B ｛0 ｝

　　C 0D｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝

　　「答案」选D 

　　「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集

　　2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，

　　则A ∩B=「」

　　A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x <-2｝

　　C ｛x ｜-2

　　「答案」选B

　　「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x<-2，故A=｛x ｜x >3 或x <-2｝；由x-1 ≤1 得x ≤2 ，故B=｛x ｜x ≤2 ｝，所以A ∩B=｛x ｜x <-2｝。

　　3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」

　　A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9}

　　C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8}

　　「答案」选A 

　　「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8}

　　4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」

　　A M ∪N={0，1}

　　B M ∩N={0，1}

　　C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6}

　　D M ∩N ∩R=（空集）

　　「答案」选D 

　　「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R=.

　　5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」

　　A 充分但不是必要条件

　　B 必要但不是充分条件

　　C 充分必要条件

　　D 既不是充分条件又不是必要条件

　　「答案」选B 

　　「解析」若A=B ，则任取x ∈A 有x ∈B ，于是x ∈A ∩B ，从而A A ∩B 又A ∩B A ，故A ∩B=A 

　　反之不成立例A={1，2}，B={1，2 ，3}，显然A ∩B=A ，但A ≠B 

　　6 设有集合E={x|-1

　　A B {-1 ，0 ，1}

　　C {0，1 ，10}D{-1 ，0 ，1 ，10}

　　「答案」选C 

　　「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合，故E ∩F={0，1 ，10} 

　　7 函数f （x ）=1 lg|x-5|的定义域是「」

　　A （- ∞，5 ）∪（5 ，+ ∞）

　　B （- ∞，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　C （- ∞，4 ）∪（4 ，+ ∞）

　　D （- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　「答案」选D 

　　「解析」由对数的真数大于0 ，分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| >0

　　|x-5| ≠1 ，得x >5 或x <5

　　x ≠4 或x ≠6

　　于是得到该函数的定义域为（- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　8 设f （x ）在区间［0 ，1 ］上有定义，则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」

　　A ［0 ，1 ］B -1 4，5 4

　　C -1 4，1 4D1 4 ，3 4

　　「答案」选D 

　　「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1

　　0 ≤x-1 4 ≤1 ，得-1 4≤x ≤3 4

　　1 4 ≤x ≤5 4

　　，其公共部分即为该函数的定义域，于是得该函数的定义域为1 4 ，3 4 

　　9 设f （x ）的定义域是［0 ，4 ］，则f （x2）的定义域是「」

　　A ［0 ，16］B ［0 ，2 ］

　　C ［-2，2 ］D ［-16 ，16］

　　「答案」选C 

　　「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ，|x| ≤2 ，-2≤x ≤2 于是f （x2）的定义域为［-2，2］

　　10函数f （x ）=lnx x-2的定义域是「」

　　A （- ∞，0 ）B （2 ，+ ∞）

　　C （0 ，2 ）D （- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）

　　「答案」选D 

　　「解析」由条件知x x-2 >0 且x ≠2 ，得x >2 或x <0 故f （x ）=lnx x-2的定义域为（- ∞，0 ）∪（2 ，+ ∞）

　　11函数f （x ）=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」

　　A ［1 ，5 ］B ［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

　　C ［1 ，3 ）D （3 ，5 ］

　　「答案」选B 

　　「解析」由-1≤x-3 2 ≤1

　　x2-x-6≠0 ，得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ，x ≠-2，因此所给函数的定义域为［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

　　12已知f （1 x ）=x+x2+1 ，（x >0 ），则f （x ）= 「」

　　A x+x2+1 xB 1+x2+1 x

　　C x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1

　　「答案」选B 

　　「解析」令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x

　　「另解」因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，

　　故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2

　　=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x