《高等数学》(一)第一章 同步辅导/训练

　　本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常见的经济函数；能从比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

　　本章重点：函数概念和基本初等函数。

　　难点：函数的复合。

　　典型例题分析与详解

　　一、单项选择题

　　1 下列集合中为空集的「」

　　A ｛｝B ｛0 ｝

　　C 0D｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝

　　「答案」选D 

　　「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集

　　2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，

　　则A ∩B=「」

　　A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x <-2｝

　　C ｛x ｜-2<x ≤1 ｝D ｛x ｜x ≤1 ｝

　　「答案」选B

　　「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x<-2，故A=｛x ｜x >3 或x <-2｝；由x-1 ≤1 得x ≤2 ，故B=｛x ｜x ≤2 ｝，所以A ∩B=｛x ｜x <-2｝。

　　3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」

　　A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9}

　　C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8}

　　「答案」选A 

　　「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8}

　　4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」

　　A M ∪N={0，1}

　　B M ∩N={0，1}

　　C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6}

　　D M ∩N ∩R=（空集）

　　「答案」选D 

　　「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R=.

　　5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」

　　A 充分但不是必要条件

　　B 必要但不是充分条件

　　C 充分必要条件

　　D 既不是充分条件又不是必要条件

　　「答案」选B 

　　「解析」若A=B ，则任取x ∈A 有x ∈B ，于是x ∈A ∩B ，从而A A ∩B 又A ∩B A ，故A ∩B=A 

　　反之不成立例A={1，2}，B={1，2 ，3}，显然A ∩B=A ，但A ≠B 

　　6 设有集合E={x|-1 <x ≤10} ，F={-1 ，0 ，1 ，10} ，则E ∩F=「」

　　A B {-1 ，0 ，1}

　　C {0，1 ，10}D{-1 ，0 ，1 ，10}

　　「答案」选C 

　　「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合，故E ∩F={0，1 ，10} 

　　7 函数f （x ）=1 lg|x-5|的定义域是「」

　　A （- ∞，5 ）∪（5 ，+ ∞）

　　B （- ∞，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　C （- ∞，4 ）∪（4 ，+ ∞）

　　D （- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　「答案」选D 

　　「解析」由对数的真数大于0 ，分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| >0

　　|x-5| ≠1 ，得x >5 或x <5

　　x ≠4 或x ≠6

　　于是得到该函数的定义域为（- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

　　8 设f （x ）在区间［0 ，1 ］上有定义，则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」

　　A ［0 ，1 ］B -1 4，5 4

　　C -1 4，1 4D1 4 ，3 4

　　「答案」选D 

　　「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1

　　0 ≤x-1 4 ≤1 ，得-1 4≤x ≤3 4

　　1 4 ≤x ≤5 4

　　，其公共部分即为该函数的定义域，于是得该函数的定义域为1 4 ，3 4 

　　9 设f （x ）的定义域是［0 ，4 ］，则f （x2）的定义域是「」

　　A ［0 ，16］B ［0 ，2 ］

　　C ［-2，2 ］D ［-16 ，16］

　　「答案」选C 

　　「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ，|x| ≤2 ，-2≤x ≤2 于是f （x2）的定义域为［-2，2］

　　10函数f （x ）=lnx x-2的定义域是「」

　　A （- ∞，0 ）B （2 ，+ ∞）

　　C （0 ，2 ）D （- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）

　　「答案」选D 

　　「解析」由条件知x x-2 >0 且x ≠2 ，得x >2 或x <0 故f （x ）=lnx x-2的定义域为（- ∞，0 ）∪（2 ，+ ∞）

　　11函数f （x ）=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」

　　A ［1 ，5 ］B ［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

　　C ［1 ，3 ）D （3 ，5 ］

　　「答案」选B 

　　「解析」由-1≤x-3 2 ≤1

　　x2-x-6≠0 ，得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ，x ≠-2，因此所给函数的定义域为［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

　　12已知f （1 x ）=x+x2+1 ，（x >0 ），则f （x ）= 「」

　　A x+x2+1 xB 1+x2+1 x

　　C x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1

　　「答案」选B 

　　「解析」令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x

　　「另解」因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，

　　故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2

　　=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x

　　13设函数f （x ）=1， |x|≤1

　　-1， |x|>1 ，则f1 f（x ）= 「」

　　A 1B-1

　　C f （x ）D 1 f （x ）

　　「答案」选A 

　　「解析」因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=1

　　14设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f ［g （x ）］= 「」

　　A ±1B1

　　C 1 xD|x| x2

　　「答案」选B 

　　「解析」f ［g （x ）］=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=1

　　15设f （x ）= 2｜x ｜≤2

　　1｜x ｜>2，则f （f （x ））= 「」

　　A 2B1Cf （x ）D （f （x ））2

　　「答案」选A 

　　「解析」由假设f （f （x ））= 2｜f （x ）｜≤2

　　1 ｜f （x ）｜>2，

　　对任意x ∈（－∞，＋∞），｜f （x ）｜≤2 ，故有f （f （x ））=2.

　　16设f （1-2x）=1- 2 x，则f （x ）= 「」

　　A 1+4 1-xB 1-4 1-x

　　C 1-2 1-2xD1+2 1-2x

　　「答案」选B 

　　「解析」令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x）=1- 2 x得

　　f （t ）=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ，故f （x ）=1- 4 1-x

　　17设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= 「」

　　A 1-cosxB -cosx

　　C 1+cosxD 1-sinx

　　「答案」选A 

　　「解析」f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以

　　f （x ）=2-2x2.

　　从而f （cosx2）=2-2cos 2x 2＝2-（1+cosx）=1-cosx.

　　18设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f ［f （2 ）］= 「」

　　A 3 B 0

　　C 1 D 2

　　「答案」选D 

　　「解析」因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 ×0+3=3 ，

　　故f ［f （2 ）］=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 ×1+3=2 

　　「另解」因为f （x+2 ）=x2-2x+3= ［（x+2 ）-2］2-2 ［（x+2 ）-2］+3，

　　故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3

　　从而f ［f （2 ）］=f（3 ）=32-6 ×3+11=2

　　19设g （x ）=lnx+1，f ［g （x ）］=x，则f （1 ）= 「」

　　A 1 B e

　　C -1 D-e

　　「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f ［g （1 ）］=1

　　20下列各组函数中，表示相同函数的是「」

　　A y=lnx2与y=2lnx

　　B y=x 与y=x2

　　C y=1 与y=sin2x+cos2x

　　D y=x 与y=cos （arccosx ）

　　「答案」选C 

　　「解析」A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同

　　21函数y=log4x+log42 的反函数是「」

　　A y=42x-1By=4x-1

　　C y=2x-1D y=4x-1

　　「答案」选A 

　　「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，

　　故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.

　　22设－12<x <0 ，则y=lg（1＋x ）＋lg（1－x ）的反函数是「」

　　A y=1－10x ，（－∞，0）

　　B y=- 1－10x ，（－∞，0）

　　C y=1－10x ，（lg34，0）

　　D y=- 1－10x ，（lg34，0）

　　「答案」选D 

　　「解析」由y=lg（1+x ）+lg （1-x ）=lg （1-x 2）得

　　1-x2=10y

　　因为当x ∈（- 12，0）时，y ∈（lg34，0），所以

　　x=- 1－10y

　　故所求反函数为y=- 1－10x ，（lg34，0）

　　23设f （x ）=x-1 x+1，则f-1 （12）= 「」

　　A 12B 1C 2D